linear-algebra-09-change-of-basis.md
π‘μ ν λμν Linear algebra
https://www.youtube.com/watch?v=P2LTAUO1TdA
μ ν λ³ν Linear transformation
νλ ¬ κ³±μ Matrix multiplication
π κΈ°μ λ³ν Change of basis
μ΄λ€ κΈ°μ vμ λν΄ ννλ μ’νλ€μ λ€λ₯Έ κΈ°μ wμ λν΄ ννλ μ’νλ€λ‘ λ³ννλ μμ
κΈ°λ³Έ κ°λ
- κ°μ 벑ν°λΌλ, λ€λ₯Έ κΈ°μ 벑ν°, λ€λ₯Έ μ’νκ³μμ λ€λ₯Έ νλ ¬μ κ°μ§λλ€. | μμ | λ΄μ© | | ------------------- | --------------------------- | | origin μμ | νμ λμΌ | | axies, grid spacing | depends on own basis vector |
π κΈ°μ λ²‘ν° λ³ννκΈ°
1. λμ κΈ°μ 벑ν°λ₯Ό, νμ¬ κΈ°μ 벑ν°λ‘ λ³ν
- 벑ν°(λ Έλμ)λ₯Ό λ€μκ³Ό κ°μ΄, [-1, 2] νλ ¬λ‘ ννν μ μλ μ’νκ³μ κΈ°μ 벑ν°λ b1, b2μ λλ€.
- μ΄ λ²‘ν°λ₯Ό νμ¬ μ’νκ³λ₯Ό ν΅ν΄ νννλ©΄, b1κ³Ό b2μ μ’νλ λ€μκ³Ό κ°μ΅λλ€.
- μ’νκ³μ 벑ν°λ₯Ό μ€μΌμΌλ§ scaling ν©λλ€.
- νλ ¬ κ³±μ matrix-vector multiplication
- κ°μ μ’νκ³
- νμ¬ κΈ°μ 벑ν°μΌ λ: νμ¬ μ’νκ³ > λμ μ’νκ³ > νμ¬ μ’νκ³ νλ ¬κ³±μ
2. νμ¬ κΈ°μ 벑ν°λ₯Ό, λμ κΈ°μ 벑ν°λ‘ λ³ν
- 벑ν°(λ
Έλμ)λ₯Ό λ€μκ³Ό κ°μ΄, i hat, j hatμΌλ‘ νν μ
νλ ¬μ [3, 2]μ
λλ€.
- ν΄λΉ 벑ν°λ₯Ό λ€μ b1, b2 κΈ°μ 벑ν°λ₯Ό κ°μ§ λμ μ’νκ³μμ νμΈνλ € ν©λλ€.
- νλ ¬μ λ€μκ³Ό κ°μ΅λλ€.
- μνλ ¬μ ν΅ν΄ κ³μ°ν©λλ€.
μνλ ¬μ μ¬μ©νλ μ΄μ
- λμμ κΈ°μ 벑ν°λ₯Ό, νμ¬ κΈ°μ 벑ν°λ‘ ννν νλ ¬ A
- λμμ 벑ν°μ νλ ¬ Aλ₯Ό κ³±ν¨μΌλ‘μ, νμ¬ μ’νκ³μ νλ ¬μ μ μ μλ€.
- μ΄λ₯Ό μμΌλ‘ κ³μ°νλ κ²
π λ³ν 곡μ
μμ: νΉμ κΈ°μ 벑ν°λ₯Ό κ°μ§ νλ ¬μμ, λ°μκ³λ°©ν₯μΌλ‘ 90λ νμ
1. κΈ°μ λ³ν νλ ¬ Change of basis matrix
2. λ³ν νλ ¬
- μ ν λ³ν
3. μλ³ν
- κΈ°μ λ³ν νλ ¬μ λλ리기
- Inverse change of basis matrix (μ»΄ν¨ν° κ³μ°)
- Inverse change of basis matrix (μ»΄ν¨ν° κ³μ°)
κ²°κ³Ό
Expression
| expression | μ€λͺ | | ---------- | ------------------ | | Aβ»ΒΉ, A | μμ μ λ³ν | | M | λ΄ μμ μμμ λ³ν |
π‘ μμ΄
prerequisites[ΛpriΛrΙͺΛkwΙͺzΙts] μ μ 쑰건: conditions or requirements that must be fulfilled before something else can happen or be done