선형 대수학 Linear algebra | 비정사각형 행렬, 내적

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📌 비정사각형 행렬 Nonsquare matrices

비정사각형 행렬은 행과 열의 개수가 같지 않은 행렬을 의미합니다.

• 3x2 행렬은 3개의 행과 2개의 열로 이루어져 있으며,
• 2x3 행렬은 2개의 행과 3개의 열로 이루어져 있습니다.

이러한 비정사각형 행렬을 다루는 것은 2차원에서 3차원으로 또는 3차원에서 2차원으로 벡터를 변환하는 상황을 의미할 수 있습니다.

1. 3x2 행렬 (3x2 matrix)

• 3x2 행렬의 열공간
  • 3차원 공간에서 2차원 평면으로 투영된 벡터들의 집합입니다.

2. 2x3 행렬 (2x3 matrix)

• 행렬의 열공간
  • 2차원 공간에 존재하는 벡터들의 집합입니다

3. 1x2 행렬 (1x2 matrix)

• number line

비정사각형 행렬 Nonsquare matrices은 다양한 상황에 사용하며, 열공간 Column Space을 통해 변환된 벡터들의 특징을 파악할 수 있습니다.

📌 내적 Dot products

1. 내적이란?

내적은 같은 차원을 가진 두 벡터 간의 연산으로,

두 벡터의 각 성분을 곱한 후 그 합을 구하는 것을 의미합니다.

2. 투영 Project

두 벡터 중 하나를 다른 벡터에 투영하여 그 결과를 구하는 것을 의미합니다.

투영은 두 벡터가 같은 방향을 가리키는 정도를 나타내며, 내적은 투영을 통해 계산됩니다.

• 두 벡터의 내적은 W 벡터를 0과 v벡터를 지나는 선 위로 투영하는 것으로 생각할 수 있습니다.

• 어느 벡터를 투영해도 결과는 같습니다.

3. 벡터의 방향

| 내적 Dot Product | 방향 | direction | | ---------------- | --------- | ------------------- | | 0보다 큼 | 같은 방향 | Similar directions | | 0과 같음 | 직각 | Perpendicular | | 0보다 작음 | 반대 방향 | Opposing directions |

4. 벡터와 행렬

• 2d vectors ↔ 1x2 matrices

5. 이중성 duality

내적은 선형 변환과의 이중성 (duality)을 가지고 있습니다.

이는 벡터가 가진 선형 변환 성질과 관련된 개념으로, 내적은 벡터의 방향, 크기, 그리고 벡터 사이의 각도에 따라 다양한 결과를 가질 수 있습니다.

5. 행렬 벡터 곱셈 matrix vector multification

내적은 행렬과 벡터를 곱하는 연산으로도 표현할 수 있습니다.

예를 들어, 1x2 행렬과 2x1 행렬을 내적하면 스칼라 값이 나오게 됩니다.

행렬 벡터 곱셈 (Matrix-Vector multiplication)을 내적으로 표현하면 다음과 같습니다:

• 내적은 단위 벡터의 성질을 이용하여 계산할 수도 있습니다.
  • u hat 벡터를 i hat과 j hat에 투영하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

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