선형 대수학 Linear algebra | 행렬식과 평행육면체

• Three-dimensional linear transformations | Chapter 5, Essence of linear algebra
• The determinant | Chapter 6, Essence of linear algebra

• https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra

📌 3차원 공간에서의 선형 대수학

3차원 공간에서의 선형 대수학은 기존의 2차원과 동일한 개념을 적용하지만, 기저 벡터와 좌표축은 다음과 같이 정의됩니다.

1. 기저 벡터와 좌표축

3차원 공간의 기저 벡터는 i hat, j hat, k hat으로 나타냅니다.

• 각각의 기저 벡터는 x, y, z 축을 나타냅니다.

2. 3D 선형 변환

• 3차원 공간에서의 선형 변환

3. 두 행렬의 곱셈 multiply two metrix

• 오른쪽 적용된 후 왼쪽 적용

4. 3차원 방향과 오른손 규칙

3차원 공간에서의 벡터의 방향을 결정하는데 사용되는 오른손 규칙

• 왼손과는 반대 방향으로 적용됩니다.(반대방향 = 음수)

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📌 행렬식 determinant이란?

행렬식은 3차원에서의 선형 변환의 scale 값을 의미합니다. 행렬식 값이 음수라면 변환된 결과가 반전되는 경우를 나타냅니다.

1. 평행육면체 parallelpiped

3차원에서는 i hat, j hat, k hat으로 이루어진 i x j x k 볼륨을 scale하게 되는데, 이 볼륨을 평행육면체라 합니다.

• 행렬식 == 평행육면체의 부피값

• 행렬식의 값이 0이라면 차원이 낮아지거나 원점이 될 수 있습니다. 이는 선형 의존인 경우를 나타냅니다.

2. 행렬식의 적용

행렬식은 평행사변형의 넓이와 밑변, 높이를 곱한 것과 동일합니다.

행렬식의 값이 0이 아니라면 bc는 평행사변형이 얼마나 찌그러지는 지의 값을 나타냅니다.

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